過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是______．
設(shè)切點坐標為（x0，x03+2x02+a），而切線的斜率k=y′=3x02+4x0，
所以切線方程為：y-（x03+2x02+a）=（3x02+4x0）（x-x0），
把原點（0，0）代入得：2x03+2x02-a，
所以過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，方程2x03+2x02-a=0有三個不同的實數(shù)解，
設(shè)h（x）=2x3+2x2-a，所以令h′（x）=6x2+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-
2
3
，
則x，h′（x），h（x）的變化如下圖：
x （-∞，-
2
3
）		 -
2
3
 （-
2
3
，0）		 0 （0，+∞）
h'（x） + 0 - 0 +
h（x） ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑
根據(jù)圖形可知：h（x）極大值=h（-
2
3
）=
8
27
-a，h（x）極小值=h（0）=-a，
根據(jù)題意
h(-
2
3
)＞0
h(0)＜0
，即
8
27
-a＞0
-a＜0
，解得：0＜a＜
8
27
，
則實數(shù)a的取值范圍是（0，
8
27
）．
故答案為：（0，
8
27
）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•汕頭二模）定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數(shù)f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設(shè)曲線C1在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（Ⅱ）令函數(shù)g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C2，若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）令函數(shù)f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的圖象為曲線C1，過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B（n，t）（n＞0），求點B的坐標；
（Ⅱ）令函數(shù)g（x）=F（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C2，若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．

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