Question

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y²=8x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)C（

2

，

3

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，在第一象限內(nèi)任取雙曲線上一點(diǎn)P，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），從而設(shè)雙曲線方程，再將點(diǎn)（

2

，

3

）代入，可求雙曲線C的方程；
（2）先假設(shè)成立，由當(dāng)PF⊥x軸時，猜想結(jié)論λ=2；以此作為條件，再進(jìn)行一般性探求與證明，證明當(dāng)PF與x軸不垂直時∠PFA=2∠PAF成立．

解答：解：（1）拋物線焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)雙曲線方程為

x2

4-b2

-

y2

b2

=1，將點(diǎn)（

2

，

3

）代入得b²=3，
所以雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．
（2）當(dāng)PF⊥x軸時，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此時λ=2．
以下證明當(dāng)PF與x軸不垂直時∠PFA=2∠PAF成立．
設(shè)P（x₀，y₀），則k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，kPF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2kPA

1-kPA2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．由

x

2 0

-

1

3

y

2 0

=1得y₀²=3（x₀²-1）代入上式，
得tan2∠PAF=

2y0

x0+1-3(x0-1)

=-

y0

x0-2

=tan∠PFA恒成立．∵∠PFA∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)，∠PAF∈(0，

π

4

)∪(

π

4

，

π

3

)，∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

點(diǎn)評：本題考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題，通過假設(shè)存在，轉(zhuǎn)化為封閉型命題進(jìn)行求解．