Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）不等式f（x）＞kx﹣ 對于任意正實數(shù)x均成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)m，使得對于任意正實數(shù)x，不等式f（m+x）＜f（m）ex恒成立？若存在，求出最小的整數(shù)m，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，

即為k＜lnx+ ，x＞0，

令g（x）=lnx+ ，x＞0，則g′（x）= ﹣ = ，

在（0， ）上，g′（x）＜0，g（x）遞減，

在（ ，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）遞增，

即有g(shù)（x）在x= 處取得極小值，且為最小值1﹣ln2，

則k＜1﹣ln2，

故實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，1﹣ln2）

（2）解：∵f（m+x）＜f（m）ex恒成立，

∴（m+x）ln（m+x）＜mlnmex，

即 ＜ 恒成立，

令g（x）= ，g′（x）= ，

設(shè)p（x）=1+（1﹣x）lnx，p′（x）= ﹣1﹣lnx，而p′（1）=0且p′（x）遞減，

∴x∈（0，1）時，p′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，p′（x）＜0，

故p（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；

又x→0，p（x）→﹣∞，p（1）=1＞0，x→+∞時，p（x）→﹣∞，

由零點的存在定理，p（x）=0在（0，1），（1，+∞）內(nèi)各有一根x1＜1＜x2，

∴x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，x2），g′（x）＞0，x∈（x2，+∞），g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，x1）遞增，在（x1，x2）遞減，在（x2，+∞）遞增，

∵p（2）=1﹣ln2＞0，p（3）=1﹣2ln3＜0，故x2∈（2，3），

∴m=3時，g（x）在（3，+∞）遞減，此時，g（3+x）＜g（3）恒成立，

若m=1，2，則g（x2）＞g（m），矛盾，

綜上，存在最小正整數(shù)m=3

【解析】（1）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，即為k＜lnx+ ，x＞0，令g（x）=lnx+ ，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到極小值也為最小值，即可得到k的范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為 ＜ 恒成立，令g（x）= 求出g′（x）= ，設(shè)p（x）=1+（1﹣x）lnx，通過討論p（x）的單調(diào)性，判斷出g（3+x）＜g（3）恒成立，從而求出滿足條件的m的值即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．