Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）試用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間的簡(jiǎn)圖；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）的最大值并指出x取何值時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值．

Answer 1

分析 （1）利用列表、描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{6}$]的簡(jiǎn)圖；
（2）求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)f（x）的最小值得m的值，
從而求出m與函數(shù)g（x）的最大值以及對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{11π}{6}$]的簡(jiǎn)圖，如圖所示；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]；
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[0，$\frac{3}{2}$]，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為0+m=2，
解得m=2；
∴函數(shù)g（x）的最大值$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{2}$；
即x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．