Question

8．（1）若點(diǎn)P（2，-1）為圓（x-1）²+y²=25的弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．
（2）若直線y=2x+b與圓x²+y²=4相交A，B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C的坐標(biāo)，得到PC的斜率，利用中垂線的性質(zhì)求得直線AB的斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出AB的方程，并化為一般式；
（2）利用點(diǎn)差法求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）圓（x-1）²+y²=25的圓心C（1，0），
點(diǎn)P（2，-1）為弦AB的中點(diǎn)，PC的斜率為$\frac{0+1}{1-2}$=-1，
∴直線AB的斜率為1，點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線AB的方程 y+1=1×（x-2），即 x-y-3=0；
（2）設(shè)中點(diǎn)為M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=4，
兩方程相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x+2y×2=0，即x+2y=0（圓內(nèi)部分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，線段的中垂線的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程的方法．