Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱AA₁，BB₁的中點(diǎn)，求異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值．

Answer 1

分析：連接A₁C₁、C₁F、EF，利用正方體的性質(zhì)證出四邊形C₁D₁FE是平行四邊形，可得D₁E∥C₁F，所以∠A₁FC₁（或其補(bǔ)角）是異面直線A₁F與D₁E所成角．再正方體棱長(zhǎng)為2，在△A₁FC₁中，算出A₁F、C₁F、A₁C₁的長(zhǎng)度，利用余弦定理算出cos∠A₁FC₁的值，即可得到異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值．

解答：證明：連接A₁C₁、C₁F、EF，
∵正方形AA₁B₁B中，E，F(xiàn)分別是棱AA₁，BB₁的中點(diǎn)，
∴A₁B₁∥EF且A₁B₁=EF
∵A₁B₁∥C₁D₁且A₁B₁=C₁D₁，
∴EF∥C₁D₁且EF=C₁D₁，可得四邊形C₁D₁FE是平行四邊形
因此，D₁E∥C₁F，
∴∠A₁FC₁（或其補(bǔ)角）就是異面直線A₁F與D₁E所成角
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則△A₁FC₁中，A₁F=C₁F=

5

，A₁C₁=2

2

由余弦之理，得cos∠A₁FC₁=

5+5-8

2× 5 × 5

=

1

5

＞0
∴∠A₁FC₁是銳角，可得異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值為

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求異面直線所成的角，著重考查了正方體的性質(zhì)和異面直線所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．