Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，F(xiàn)在A₁B₁上．
（1）若DE⊥CF，求A₁F的長；
（2）求二面角C-C₁D-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得D、E、C₁、C各點的坐標(biāo)，從而得到

DE

和

DC1

的坐標(biāo)，設(shè)A₁F=x，得

CF

=（2，x-2，2）．DE⊥CF，利用垂直向量的數(shù)量積為零建立關(guān)于x的方程組，解之即可得到A₁F的長；
（2）設(shè)平面DEC₁的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，由

n1

•

DC1

=0與

n1

•

DE

=0建立關(guān)于x₁、y₁、z₁的方程組，并取x₁=2，得

n1

=(2，-1，1)，再根據(jù)平面DCC₁的一個法向量為

n2

=(1，0，0)，計算出向量

n1

、

n2

夾角的余弦之值，即可得到二面角C-C₁D-E的余弦值．

解答：解  （1）以D點為坐標(biāo)原點，DA、DC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），E（1，2，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0），

DE

=(1，2，0)，

DC1

=(0，2，2)，
設(shè)A₁F=x，得F（2，x，2），

CF

=（2，x-2，2），
當(dāng)DE⊥CF時，

DE

•

CF

=0，即2+2（x-2）=0，
解之得x=1，所以A₁F的長為1．   …（5分）
（2）設(shè)平面DEC₁的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1

•

DC1

=0得2y₁+2z₁=0，
再由

n1

•

DE

=0得x₁+2y₁=0，
令y₁=-1得x₁=2，z₁=1，所以平面DEC₁的一個法向量為

n1

=(2，-1，1)．                            …（7分）
易得平面DCC₁的一個法向量為

n2

=(1，0，0)，…（8分）
設(shè)二面角C-C₁D-E的平面角為θ，則cosθ=

n1  • n2

| n1  |•| n2  |

=

2

6

=

6

3

，
所以二面角C-C₁D-E的余弦值為

6

3

． …（10分）

點評：本題給出正方體，探究了異面直線的垂直并求二面角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)和利用空間向量計算線線角和面面角等知識，屬于中檔題．