Question

若函數(shù)y=lg

2-x

2+x

+

1-2x

1+2x

+a在[-1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=lg

2-x

2+x

+

1-2x

1+2x

+a=lg（2-x）-lg（2+x）+

2-(1+2x)

1+2x

+a=lg（2-x）-lg（2+x）+

2

1+2x

-1+a，
∴在[-1，1]上f（x）得到遞減，
若函數(shù)y=lg

2-x

2+x

+

1-2x

1+2x

+a在[-1，1]上有零點(diǎn)，
則

f(-1)≥0 f(1)≤0

，即

f(-1)=lg3+ 1 3 +a≥0 f(1)=lg 1 3 - 1 3 +a≤0

，
即

a≥-lg3- 1 3 a≤ 1 3 -lg 1 3 = 1 3 +lg3

，
解得-lg3-

1

3

≤a≤

1

3

+lg3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-lg3-

1

3

，

1

3

+lg3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在的條件是解決本題的關(guān)鍵．