已知函數(shù),,其中m∈R.
(1)若0<m≤2,試判斷函數(shù)f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調性,并證明你的結論;
(2)設函數(shù) 若對任意大于等于2的實數(shù)x1,總存在唯一的小于2的實數(shù)x2,使得g (x1) =" g" (x2) 成立,試確定實數(shù)m的取值范圍.
(1)單調減函數(shù),(2)(0,4).
解析試題分析:(1)兩個函數(shù)獨立,可分別論證函數(shù)在上單調遞減,再得函數(shù)f(x)為單調減函數(shù).因為,所以當0<m≤2,x≥2時,,從而函數(shù)f(x)為單調減函數(shù).(2)結合圖形分析,可知討論點為當 m≤0時,,所以g (x1) =" g" (x2)不成立.當0<m<2時,,,,,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.當2≤m<4時,,,,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.當m≥4時,不成立.
解:(1)f (x)為單調減函數(shù).
證明:由0<m≤2,x≥2,可得
==.
由 ,
且0<m≤2,x≥2,所以.從而函數(shù)f(x)為單調減函數(shù).
(亦可先分別用定義法或導數(shù)法論證函數(shù)在上單調遞減,再得函數(shù)f(x)為單調減函數(shù).)
(2)①若m≤0,由x1≥2,,
x2<2,,
所以g (x1) =" g" (x2)不成立.
②若m>0,由x>2時,,
所以g(x)在單調遞減.從而,即.
(a)若m≥2,由于x<2時,,
所以g(x)在(-∞,2)上單調遞增,從而,即.
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需,即成立即可.
由于函數(shù)在的單調遞增,且h(4)=0,
所以2≤m<4.
(b)若0<m<2,由于x<2時,
所以g(x)在上單調遞增,在上單調遞減.
從而,即.
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需成立,即成立即可.
由0<m<2,得 .
故當0<m<2時,恒成立.
綜上所述,m為區(qū)間(0,4)上任意實數(shù).
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)單調性,利用導數(shù)求參數(shù)取值范圍
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2-4,設曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(xn+1,0)(n∈N +),其中xn為正實數(shù).
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,記an=lg,證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列,并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)若x1=4,bn=xn-2,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,證明Tn<3.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1時,f(x)取得極值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若對任意m∈R,直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù).
(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實數(shù)的最小值;
(2)若存在,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當 時,求在處的切線方程;
(2)設函數(shù),
(。┤艉瘮(shù)有且僅有一個零點時,求的值;
(ⅱ)在(。┑臈l件下,若,,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某公司經(jīng)銷某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為6元,預計當每件產(chǎn)品的售價為元()時,一年的銷售量為萬件。
(1)求公司一年的利潤y(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系;
(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少時,公司的一年的利潤y最大,求出y最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)()
(1)若在點處的切線方程為,求的解析式及單調遞減區(qū)間;
(2)若在上存在極值點,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某工廠有一批貨物由海上從甲地運往乙地,已知輪船的最大航行速度為60海里/小時,甲地至乙地之間的海上航行距離為600海里,每小時的運輸成本由燃料費和其他費用組成,輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比,比例系數(shù)為0.5,其余費用為每小時1250元。
(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(海里/小時)的函數(shù);
(2)為使全程運輸成本最小,輪船應以多大速度行駛?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com