Question

9．某公司出售某種商品，統(tǒng)計(jì)了這種商品的銷售價(jià)x（萬(wàn)元/噸）與月銷售量y（噸）的關(guān)系 如表：

X（萬(wàn)元）	3	4	5	6	7
Y（噸）	90	83	75	65	52

$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（x_i-\overline x）（y_i-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x}_i-\overline x）}^2}}}\\ a=\overline y-b\overline x\end{array}\right.$
（1）已知y與x有關(guān)相關(guān)關(guān)系，并且可以用y=bx²+a來(lái)擬合，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x 的回歸方程；（b，a的結(jié)果保留整數(shù)位）
（2）已知這種商品的進(jìn)價(jià)為2萬(wàn)元/噸，月利潤(rùn)為z萬(wàn)元，問(wèn)銷售價(jià)x（單位：萬(wàn)元/噸）為多少時(shí)，利潤(rùn)z最大？（精確到0.01，$\sqrt{3.04}=1.744$）

Answer 1

分析 （1）求出y關(guān)于x²的線性回歸方程即可，
（2）求出利潤(rùn)Z關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得利潤(rùn)Z最大．

解答 解：（1）令m=x²，則y與m具有線性相關(guān)關(guān)系，m與y的對(duì)于關(guān)系如下：

m	9	16	25	36	49
y	90	83	75	65	52

則$\overline{m}$=27，$\overline{y}$=73，$\sum_{i=1}^{5}（{m}_{i}-27）（{y}_{i}-73）$=-954，$\sum_{i=1}^{5}（{m}_{i}-27）^{2}$=1014，
設(shè)y關(guān)于m的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$m+$\stackrel{∧}{a}$，
則$\stackrel{∧}$=-$\frac{954}{1014}$≈-1，$\stackrel{∧}{a}$=53-（-1）×27=80．
∴y關(guān)于m的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-m+80，
∴y關(guān)于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-x²+80．
（2）利潤(rùn)z關(guān)于銷售價(jià)x的函數(shù)為z（x）=xy-2x=-x³+78x，x＞0，
z′（x）=-3x²+78，令z′（x）=0得x=$\sqrt{26}$，
∴0＜x＜$\sqrt{26}$時(shí)，z′（x）＞0，當(dāng)x＞$\sqrt{26}$時(shí)，z′（x）＜0，
∴z（x）在（0，$\sqrt{26}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{26}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\sqrt{26}$≈5.10時(shí)，z（x）取得最大值z(mì)（$\sqrt{26}$）≈265.15．
∴當(dāng)定價(jià)為5.1萬(wàn)元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為265.15萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次擬合的回歸方程求解，數(shù)值預(yù)測(cè)，屬于中檔題．