Question

6．在直角坐標系中，直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數） 以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于點A，B，且|AB|=$\sqrt{14}$，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）根據基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可曲線C的直角坐標方程；
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入圓的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，得出關于t的方程，設A，B兩點對應的參數分別為t₁、t₂，利用韋達定理得出t₂t₁，t₁+t₂的值，利用它們之間的轉化關系即可求出AB，繼而求出α．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入圓的方程得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化簡得t²-2tcosα-3=0．
設A，B兩點對應的參數分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=2cosα，t₁t₂=-3，
∴|AB|=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{14}$．
∴4cos²α=2，解得cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得直線l的傾斜角α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查直角坐標方程和極坐標方程的互化，注意運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，考查直線參數方程的運用，注意參數t的幾何意義，屬于中檔題．