已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，直線l過點A（4，0），B（0，2），且與橢圓C相切于點P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（0，2）的動直線與曲線E：y=x+
2
x
(x＞0)相交于不同的兩點M、N，曲線E在點M、N處的切線交于點H．試問：點H是否在某一定直線上，若是，試求出定直線的方程；否則，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由截距式確定直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用直線l與橢圓C相切，確定c的值，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線m的方程與曲線E：y=x+
2
x
(x＞0)聯(lián)立，消去y，再求得過點M、N的切線方程，從而可得兩直線的交點坐標，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）由題得過兩點A（4，0），B（0，2）直線l的方程為x+2y-4=0．…（1分）
因為
c
a
=
1
2
，所以a=2c，b=
3
c．
設橢圓方程為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1，
由
x+2y-4=0
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
消去x得，4y2-12y+12-3c2=0．
又因為直線l與橢圓C相切，所以△=122-4×4（12-3c2）=0，解得c2=1．
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…（4分）
（Ⅱ）直線m的斜率存在，設直線m的方程為y=kx+2，…（5分）
由
y=kx+2
y=x+
2
x
，消去y，整理得（k-1）x2+2x-2=0．…（6分）
設M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知△=(2)2+8(k-1)=8k-4＞0，x1+x2=
2
1-k
＞0，x1x2=
2
1-k
＞0，解得
1
2
＜k＜1．…（8分）
由y′=1-
2
x2
知過點M的切線方程為y-(x1+
2
x1
)=(1-
2
x12
)(x-x1)
過點N的切線方程為y-(x2+
2
x2
)=(1-
2
x22
)(x-x2)…（10分）
兩直線的交點坐標
x=
2x1x2
x1+x2
=2
y=
2(x1x2+2)
x1+x2
=4-2k
，
所以點H所在的直線方程為x=2．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與曲線的位置關系，考查切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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