Question

4+16a

1+2a2

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,基本不等式

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：設f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，利用導數(shù)求函數(shù)的最值的方法．

解答： 解：

4+16a

1+2a2

=4×

1+4a

1+2a2

，
設f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，
∴f′（a）=4×

4(1+2a2)-4a(1+4a)

(1+2a2)2

=4×

-4(2a2+a-1)

(1+2a2)2

，
令f′（a）=0，解得a=

1

2

，或a=-1，
當f′（a）＞0時，a∈（-1，

1

2

）為單調增函數(shù)，
當f′（a）＜0時，在（-∞，-1）∪（

1

2

，+∞）為單調減函數(shù)，
故當a=

1

2

時取得極大值，
結合圖象可知當a=

1

2

時取得大值，
∴f（

1

2

）=8，
故

4+16a

1+2a2

的最大值為8．
故答案為：8

點評：本題考查了導數(shù)與最值的問題，屬于中檔題．