Question

求周長為定值L（L＞0）的直角三角形的面積的最大值．

Answer 1

分析：因為L=a+b+c，c=

a2+b2

，兩次運用均值不等式即可求解；或者利用三角代換，轉化為三角函數求最值問題．

解答：解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為s，
解法一：a+b+

a2+b2

=L≥2

ab

+

2ab

．
∴

ab

≤

L

2+ 2

．
∴S=

1

2

ab≤

1

2

（

L

2+ 2

）²
=

1

2

•[

(2- 2 )L

2

]²=

3-2 2

4

L²．
解法二：設a=csinθ，b=ccosθ．
∵a+b+c=L，
∴c（1+sinθ+cosθ）=L．
∴c=

L

1+sinθ+cosθ

．
∴S=

1

2

c²sinθcosθ=

L2

2

sinθcosθ

(1+sinθ+cosθ)2

．
設sinθ+cosθ=t∈（1，

2

]，
則S=

L2

2

•

t2-1

2 (1+t)2

=

L2

4

•

t-1

t+1

=

L2

4

（1-

2

t+1

）≤

L2

4

（1-

2

2 +1

）=

3-2 2

4

L²．

點評：利用均值不等式解決實際問題時，列出有關量的函數關系式或方程式是均值不等式求解或轉化的關鍵．