Question

已知2z+（2+i）為純虛數(shù)，z•（3+4i）為實數(shù)，則z=

 

．

Answer 1

分析：設z=a+bi，a、b∈R，由2z+（2+i）為純虛數(shù)，得到2a+2=0，2b+1≠0，由 z•（3+4i）為實數(shù)得到
4a+3b=0，解出a、b值，即得所求．

解答：解：設z=a+bi，a、b∈R，
∵2z+（2+i）為純虛數(shù)，2z+（2+i）=2a+2+（2b+1）i，∴2a+2=0，2b+1≠0．
∵z•（3+4i）為實數(shù)，z•（3+4i）=（a+bi ）（3+4i）=3a-4b+（4a+3b）i，
∴4a+3b=0，∴a=-1，b=

4

3

，∴z=-1+

4

3

i，
故答案為：-1+

4

3

i．

點評：本題考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運算性質，復數(shù)為實數(shù)、純虛數(shù)的條件．
準確運算是解題的關鍵．