(2013•三門(mén)峽模擬)給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)
的圖象沿x軸向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y=cos2x.
②函數(shù)y=lg(ax2-2ax+1)的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).
③單位向量
a
、
b
的夾角為60°,則向量2
a
-
b
的模為
3

④用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n-1)(n∈N*)時(shí),從k到k+1的證明,左邊需增添的因式是2(2k+1).
其中正確的命題序號(hào)是
③④
③④
(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).
分析:根據(jù)函數(shù)圖象平移變換法則,求出平移后函數(shù)的解析式,并利用誘導(dǎo)公式,進(jìn)行化簡(jiǎn),可判斷①;
舉出反例a=0,進(jìn)而判斷②;
利用平方法,求出向量2
a
-
b
的模,進(jìn)而可判斷③;
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法和步驟,可判斷④.
解答:解:函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)
的圖象沿x軸向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象的函數(shù)y=sin[2(x-
π
6
)-
π
6
]
=sin(2x-
π
2
)
=-cos2x,故①錯(cuò).
當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)的定義域也為R,故②錯(cuò).
(2
a
-
b
2=4
a
2-4
a
b
+
b
2=4-4×
1
2
+1=3
,故2
a
-
b
的模為
3
,故③正確.
當(dāng)n=k時(shí),左邊為(k+1)(k+2)…(k+k),
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊為(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)[2(k+1)]
故需增添的因式為2(2k+1),故④正確.
故正確的命題序號(hào)為③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的平移變換法則,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,向量的模,數(shù)學(xué)歸納法,熟練掌握上述基本知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵.
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