Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足a²+b²+ab=c²．
（Ⅰ） 求角C的度數(shù)； 
（Ⅱ） 若a+b=10，求△ABC周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角C的度數(shù)； 
（Ⅱ）利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形，將a+b及cosC的值代入，利用基本不等式求出c的最小值，即可確定出周長的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²+ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
∵0＜C＜180°，∴C=120°；
（Ⅱ）∵a+b=10，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-abcosC=c²=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=100-ab≥100-（

a+b

2

）²=75，
∴c≥5

3

，當a=b=5時取等號，
則△ABC周長的最小值為a+b+c=10+5

3

．

點評：此題考查了余弦定理，完全平方公式及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．