Question

由坐標(biāo)原點(diǎn)O向函數(shù)y=x³ -3x²的圖象W引切線(xiàn)l₁,切點(diǎn)P₁(x₁,y₁) (P₁,O不重合），再由點(diǎn)P₁引W的切線(xiàn)l₂，切點(diǎn)為P₂(x₂,y₂) (P₁, P₂不重合），…，如此繼續(xù)下去得到點(diǎn)列{P_n(x_n,y_n)}.

（1）求x₁的值；

（2）求x_n與x_n+1滿(mǎn)足的關(guān)系式；

（3）求的值。

Answer 1

解：（1）∵y=x³  -3x²，∴y^′=3x²-6x,

∵過(guò)點(diǎn)P₁(x₁,y₁) 的切線(xiàn)l₁的方程為y-( )= ()(x-x₁), 又l₁過(guò)點(diǎn)O(0,0),

∴-()=-x₁(),∴,∴x₁=或x₁=0.

∵P₁與O不重合, ∴x₁=.

(2) ∵過(guò)點(diǎn)P_n+1(x_n+1,y_n+1) 的切線(xiàn)l_n+1的方程為=(x-x_n+1), 又l_n+1過(guò)點(diǎn)P_n(x_n,y_n), ∴=(x_n-x_n+1), 整理得(x_n-x_n+1)² (x_n+2x_n+1)-3(x_n-x_n+1)²=0,

由已知得x_n≠x_n+1, ∴x_n+2x_n+1=3.

(3) ∵x_n+1=∴x_n+1-1=,∴{x_n-1}是以x₁-1=為首項(xiàng),- 為公比的等比數(shù)列,

∴x_n-1=(-)^n-1, ∴x_n=1-(-)ⁿ  ∴