Question

已知O是線段AB外一點(diǎn)，若，．
（1）設(shè)點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，試用向量、表示；
（2）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意畫出圖形由于點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，又由于△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次為G₁、G₂、G₃，利用重心的性質(zhì)及向量的三角形法則求得用向量、表示；
（2）由題意若在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，有（1）的證明過程及結(jié)論可以逐漸得到結(jié)論，并且利用向量的加法及減法得到證明過程．
解答：解：（1）如圖：點(diǎn)A₁、A₂是線段AB的三等分點(diǎn)，，同理可得：，，
則
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=
（2）層次1：設(shè)A₁是AB的二等分點(diǎn)，則；；
設(shè)A₁、A₂、A₃是AB的四等分點(diǎn)，則；
或設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，則，
層次2：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
，
層次3：設(shè)A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分點(diǎn)，
則；
證：
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=
=
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形重心的定義，向量的加法和減法，還考查了學(xué)生對(duì)于新問題逐漸分析并合理聯(lián)想的能力．