Question

已知兩正數x，y滿足x+y=1，求z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：將z進行變形構造出適合基本不等式適用的結構，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

1

xy

+

(x+y)2-2xy

xy

=xy+

2

xy

-2，
令t=xy，則0＜t=xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，（當且僅當x=y時取等號）．
由f（t）=t+

2

t

在（0，

1

4

]上單調遞減，故當t=

1

4

時，f（t）=t+

2

t

有最小值

33

4

，
從而當且僅當x=y=

1

2

時，z有最小值為

33

4

-2=

25

4

．

點評：本題考查基本不等式的應用：求最值．基本不等式求最值時要注意三個原則：一正，即各項的取值為正；二定，即各項的和或積為定值；三相等，即要保證取等號的條件成立．