在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且(2a+c)cosB+bcosC=0.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面積S的最大值.
解 (Ⅰ)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinACcosB+sin(C+B)=0,
因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0,因?yàn)閟inA≠0,
所以cosB=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,又B為三角形的內(nèi)角,所以B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/199.png)
.
(Ⅱ)因?yàn)镾=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29721.png)
,由B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/199.png)
及a+c=4得S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29722.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29723.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29724.png)
,
又0<a<4,所以當(dāng)a=2時(shí),S取最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
…(3分)
分析:(Ⅰ)利用正弦定理化簡(jiǎn)(2a+c)cosB+bcosC=0,得到三角形的角的關(guān)系,通過兩角和與三角形的內(nèi)角和,求出B的值;
(Ⅱ)通過S=
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,利用B=
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以及a+c=4,推出△ABC面積S的表達(dá)式,通過平方法結(jié)合a的范圍求出面積的最大值.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角形面積的最值,三角形的邊角關(guān)系,三角函數(shù)的公式的靈活應(yīng)用,考查計(jì)算能力.