Question

17．已知函數(shù)$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．

（Ⅰ）用五點法作圖作出f（x）在x∈[0，π]的圖象；
（2）求f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]的最大值和最小值；
（3）若不等式f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）列表，描點，連線即可利用“五點作圖法”畫出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象．
（2）利用x的范圍，可求$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其最值．
（3）由題意可得：f（x）＜m+2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得m+2＞3，即可解得m的范圍．

解答 解：（1）列表如下：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
y	1-$\sqrt{3}$	1	3	0	-1	1-$\sqrt{3}$

對應(yīng)的圖象如下：

（2）∵f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
又∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，即2≤1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．
（3）由題意可得：f（x）＜m+2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∴m+2＞3，解得：m＞1，
∴m的范圍是（1，+∞）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，要求熟練掌握五點作圖法，屬于中檔題．