Question

（2013•楊浦區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

.

x 1 x -2 1

.

（x＞0）的值域?yàn)榧�合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）對(duì)任意x∈（0，

1

2

]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）設(shè)P是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A、B，求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二階矩陣運(yùn)算的法則化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由補(bǔ)集的含義即可寫(xiě)出答案；
（2）由題得a≥-（x+

2

x

），只須求出a大于等于函數(shù)y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值，即可實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）先設(shè)P（x₀，x₀+

2

x0

），寫(xiě)出直線PA的方程，再與直線y=x的方程聯(lián)立，得A點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即得答案．

解答：解：（1）由已知得，x＞0，則f（x）=x+

2

x

≥2

2

                       …（1分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

時(shí)，即x=

2

等號(hào)成立，
∴A=[2

2

，+∞）                                       …（3分）
所以，C_UA=（-∞，2

2

）                                …（4分）
（2）由題得 a≥-（x+

2

x

）                                      …（5分）
函數(shù)y=-（x+

2

x

）在（0，

1

2

]的最大值為-

9

2

                       …（9分）
∴a≥-

9

2

                                                      …（10分）
（3）設(shè)P（x₀，x₀+

2

x0

），則直線PA的方程為
y-（x₀+

2

x0

）=-（x-x₀），
即y=-x+2x₀+

2

x0

…（11分）
由

y=x y=-x+2x0+ 2 x0

  得A（x₀+

2

x0

，2x₀+

1

x0

）                         …（13分）
又B（0，x₀+

2

x0

），…（14分）
所以

PA

=（

1

x0

，-

1

x0

），

PB

=（-x，0），
故 

PA

•

PB

=

1

x0

（-x₀）=-1     …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二階矩陣、補(bǔ)集的含義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．