已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)=-1的距離相等.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C;
(II)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線L1,L2,設(shè)L1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,L2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,當(dāng)
AD
.
EB
的取到最小值時(shí),求L1直線的方程.
考點(diǎn):軌跡方程,直線的一般式方程
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)直接由拋物線的定義求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)出兩直線的參數(shù)方程,和拋物線方程聯(lián)立后由線系方程中參數(shù)的幾何意義得
AD
.
EB
的函數(shù)表達(dá)式,求出其最小值后進(jìn)一步求得L1直線的方程.
解答: 解:(Ⅰ)∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)=-1的距離相等,
∴P的軌跡是以F(0,1)為焦點(diǎn),以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,
其方程為x2=4y;
(Ⅱ)如圖所示:

AD
=
AF
+
FD
,
BE
=
BF
+
FE

AD
BE
=
AF
BF
+
FD
FE

設(shè)直線L1的參數(shù)方程為
x=tcosα
y=1+tsinα
,
則L2的參數(shù)方程為
x=tcos(α+90°)
y=1+tsin(α+90°)

將L1的參數(shù)方程代入拋物線方程得:t2cos2α-4tsinα-4=0,
AF
BF
=-
4
cos2α

將L2的方程代入拋物線方程得:t2sin2α-4tcosα-4=0,
FD
FB
=-
4
sin2α

AD
EB
=-(
AF
BF
+
FD
FE
)
=4(
1
cos2α
+
1
sin2α
)=
4
(sinαcosα)2

=
16
sin2

當(dāng)sin2α=1時(shí),取最小值16.
此時(shí)α=45°,
∴直線L1
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t

化為普通方程得:x-y+1=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查了軌跡方程的求法,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題的方法.是中檔題.
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1
3
,+∞)
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1
3
)
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1
3
,+∞)
D、(0,+∞)

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ME
MF
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