Question

(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

( I)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且，直線OP與QA交于點(diǎn)M，問：是否存在點(diǎn)P使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得，

，

整理得軌跡的方程為（且）.·············· 4分

（Ⅱ）方法一、

設(shè)，

由可知直線，則，

故，即，········ 6分

由三點(diǎn)共線可知，

與共線，

∴　，

由（Ⅰ）知，故，········· 8分

同理，由與共線，

∴　，

即，

由（Ⅰ）知，故，············ 10分

將，代入上式得，

整理得，

由得， ························· 12分

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519192942183749/SYS201205251921220468510849_DA.files/image010.png">，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為． ············· 14分

方法二、設(shè)

由可知直線，則，

故，即，···················· 6分

∴直線OP方程為：   ①；····················· 8分

直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即  ②；··· 10分

聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．············ 12分

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052519192942183749/SYS201205251921220468510849_DA.files/image010.png">，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為．············· 14分

 

【解析】略