Question

1．如圖示，邊長為4的正方形ABCD與正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分別是PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥面BDM
（2）求多面體P-ABCD的體積
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點O，連接MO，由正方形ABCD知O為AC的中點，由M為PC的中點，知MO∥PA，由此能夠證明PA∥平面MBD
（2）利用棱錐的體積公式，可得結(jié)論．
（3）存在點N，當(dāng)N為AB中點時，平面PQB⊥平面PNC．由四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，知BQ⊥NC，由此能夠證明平面PCN⊥平面PQB．

解答 （1）證明：連接AC交BD于點O，連接MO，
由正方形ABCD知O為AC的中點，
∵M(jìn)為PC的中點，
∴MO∥PA，
∵M(jìn)O?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD
（2）解：多面體P-ABCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：存在點N，當(dāng)N為AB中點時，平面PQB⊥平面PNC，
∵四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，∴BQ⊥NC．
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，∴PQ⊥NC，
又BQ∩PQ=Q，∴NC⊥平面PQB，
∵NC?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐體積的求法，考查平面與平面垂直的證明，屬于中檔題．