Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）的圖象與x軸有三個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得出減區(qū)間；
（2）求出f（x）的極值，令極大值大于0，極小值小于0解出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
令f′（x）＞0得3x²-9x+6＞0，解得x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0得3x²-9x+6＜0，解得1＜x＜2．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），減區(qū)間為（1，2）．
（2）由（1）知 當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=$\frac{5}{2}-a$；
當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=2-a．
∵f（x）的圖象與x軸有三個交點．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-a＞0}\\{2-a＜0}\end{array}\right.$，解得：$2＜a＜\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．