Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0(n∈N^*)的兩根，且a₁＝1．

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n－λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)∵是關(guān)于x的方程(n∈N*)的兩根， 　　∴ 　　由，得 　　故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為－1的等比數(shù)列．(3分) 　　(2)解：由(1)得，即． 　　∴ 　　． 　　∴ 　　 　　．(5分) 　　要使對任意n∈N*都成立， 　　即(*)對任意n∈N*都成立． 　�、佼�(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由(*)式得， 　　即， 　　∵， 　　∴對任意正奇數(shù)n都成立． 　　當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，有最小值1．s 　　∴．(8分) 　�、诋�(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)式得， 　　即， 　　∵， 　　∴對任意正偶數(shù)n都成立． 　　當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，有最小值． 　　∴． 　　綜上所述，存在常數(shù)，使得對任意n∈N*都成立， 　　的取值范圍是　(12分)