Question

已知函數(shù)f（x）=|2-

p

x

|（p為大于0的常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最大值（用常數(shù)p表示）；
（2）若p=1，是否存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ma，mb]，如果存在求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）先對函數(shù)的解析式進(jìn)行分類討論，去掉絕對值符號，再分類討論研究函數(shù)的最大值，得到本題結(jié)論；（2）通過分類研究，由函數(shù)的定義域，得到 函數(shù)的值域，結(jié)合已知條件，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=

p x -2，x≤ p 2 2- p x ，x＞ p 2

，
①當(dāng)

p

2

＞4時(shí)，即p＞8，f（x）的最大值為：f（1）=p-2；
②當(dāng)1≤

p

2

≤4時(shí)，即2≤p≤8，f（1）=p-2，f（4）=2-

p

4

，
  （i）若p≥

16

5

，f（1）＞f（4），f（x）即的最大值為f（1）=p-2；
  （ii）若p＜

16

5

，f（1）＜f（4），f（x）即的最大值為f（4）=2-

p

4

；
③當(dāng)

p

2

＜1時(shí)，即p＜2，f（x）的最大值為f（4）=2-

p

4

；
綜上所述：當(dāng)p≥

16

5

，f（x）即的最大值為p-2，
當(dāng)p＜

16

5

，f（x）即的最大值為2-

p

4

，
（2）若p=1函數(shù)f（x）=|2-

1

x

|，
由a＜b，ma＜mb知m（a-b）＜0，m＞0
又∵ma≥0，
∴a＞0
①當(dāng)0＜a＜b≤

1

2

時(shí)，
由題意得

1 a -2=mb 1 b -2=ma

得

1

a

-

1

b

=m(a-b)，

1

a

=mb
∴

1

a

-2=

1

a

，a無解．
②當(dāng)a≤

1

2

≤b時(shí)，
ma=0與m＞0，a＞0矛盾．
③當(dāng)

1

2

≤a＜b時(shí)，由題意得

2- 1 a =ma 2- 1 b =mb

，
即2-

1

x

=mx（x≥

1

2

）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
由2-

1

x

=mx 得：mx²-2x+1=0．
要使得方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，令g（x）=mx²-2x+1，
∴函數(shù)g（x）應(yīng)滿足

△＞0 g( 1 2 )＞0 1 m ＞ 1 2

，
∴m∈（0，1）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域和值域，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．