Question

如圖，拋物線的頂點O在坐標原點，焦點在y軸負半軸上．
過點M（0，-2）作直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足

OA

+

OB

=(-4，-12)．
（Ⅰ）求直線l和拋物線的方程；
（Ⅱ）當拋物線上一動點P從點A向點B運動時，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出直線和拋物線的方程，聯(lián)立方程用根與系數(shù)法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由題意AB為定長，只要AB邊上的高最大，則三角形的面積最大；過點P的切線與l平行時，△APB得面積最大，求出P點的坐標，再求P點到直線AB的距離和AB的長，再求出面積．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-2，拋物線方程為x²=-2py（p＞0） （2分）
有

y=kx-2 x2=-2py

得x²+2pkx-4p=0 （3分）
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=(-2pk，-2pk2-4)（4分）
∵

OA

+

OB

=(-4，-12)，
∴

-2pk=-4?? -2pk2-4=-12

，解得

p=1 k=2

（5分）
故直線l的方程為y=2x-2，拋物線方程為x²=-2y． （6分）
（Ⅱ）據(jù)題意，當拋物線過點P的切線與l平行時，△APB得面積最大（7分）
設(shè)點P（x₀，y₀），由y'=-x，故由-x₀=2得x₀=-2，則y0=-

1

2

x

2 0

=-2
∴P（-2，-2） （9分）
∴點P到直線l的距離d=

|2×(-2)-(-2)-2|

22+(-1)2

=

4

5

=

4 5

5

（10分）
由

y=2x-2 x2=-2y

，得x²+4x-4=0 （11分）
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+22

(-4)2-4×(-4)

=4

10

（12分）
∴△ABP的面積的最大值為

1

2

•|AB|•d=

1

2

×4

10

×

4 5

5

=8

2

（14分）

點評：本題為直線與拋物線的綜合問題，常用的方法聯(lián)立直線及拋物線的方程，再利用韋達定理求解，本題還用數(shù)形結(jié)合思想求最大值，考查了運算能力和數(shù)形結(jié)合思想．