Question

7．已知雙曲線的漸進(jìn)線方程為y=±2x，且過(guò)點(diǎn)（-3，$4\sqrt{2}$）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線4x-y-6=0與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)所求雙曲線的方程為：${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ（{λ≠0}）$，將點(diǎn)（-3，$4\sqrt{2}$），代入拋物線方程，求得λ的值，求得雙曲線方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可求出弦|AB|的值．．

解答 解：（1）由雙曲線的漸進(jìn)線方程為y=±2x，則設(shè)所求雙曲線的方程為：${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ（{λ≠0}）$，
把$（{-3，4\sqrt{2}}）$代入方程，整理得：$9-\frac{32}{4}=λ$，
解得：λ=1，
∵雙曲線的方程為：${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由題意可知：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-6=0}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$整理得：3x²-12x+10=0，
由韋達(dá)定理得：${x_1}+{x_2}=4，{x_1}{x_2}=\frac{10}{3}$，
由弦長(zhǎng)公式可知：$|{AB}|=\sqrt{（{1+{k^2}}）[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\sqrt{（{1+16}）（{{4^2}-4×\frac{10}{3}}）}=\frac{{2\sqrt{102}}}{3}$，
∴|AB|的值$\frac{2\sqrt{102}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和幾何性質(zhì)，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．