Question

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時(shí)，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡(jiǎn)便起見，不妨做如下假設(shè)：
（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；
（3）第n年時(shí)，兔子數(shù)量R_n用表示，狐貍數(shù)量用F_n表示；
（4）初始時(shí)刻（即第0年），兔子數(shù)量有R₀=100只，狐貍數(shù)量有F₀=30只．
請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；
（2）求出R_n、F_n關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）討論當(dāng)n越來越大時(shí)，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

Answer 1

（1）∵兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍
∴

Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1 Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1

(n≥1)…4’
（2）設(shè)

αn

=

Rn Fn

，M=

1.1 0.1

-0.15 0.85

∴

αn

=M

αn-1

=M(M

αn-2

)=…=Mn

α∞

又矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)=

.

λ-1.1 -0.1

0.15 λ-0.85

.

=λ²-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ₁=1，λ₂=0.95
特征值λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

α1

=

3 2

特征值λ₂=0.95對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

α2

=

1 1

…6’
且

α0

=

100 30

=70

3 2

-110

1 1

=70

α1

-110

α2

∴

αn

=Mnα0=70

λ

n1

α1

-110

λ

n2

α2

=70

3 2

-110•0.95n

1 1

=

210-110•0.95n 140-110•0.95n

∴

Rn=210-110•0.95n Fn=140-110•0.95n

…14’
（3）當(dāng)n越來越大時(shí)，0.95ⁿ越來越接近于0，R_n，F(xiàn)_n分別趨向于常量210，140．即隨著時(shí)間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后，兔子與狐貍的數(shù)量達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．…2’