【題目】【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考】函數(shù)在處的切線斜率為.
(I)討論函數(shù)的單調性;
(II)設, ,對任意的,存在,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(I)時, 的單調遞增區(qū)間為; 時, 的單調遞增區(qū)間為,單調遞 減區(qū)間為.(II)
【解析】試題分析:
(1)對求導后根據(jù)的取值情況進行分類討論可得函數(shù)的單調性.(2)根據(jù)題意將問題轉化為函數(shù)的最小值不小于函數(shù)的最小值的問題解決即可.
試題解析:
(1)由題意得函數(shù)的定義域為.
∵,
∴,
∵曲線在處的切線斜率為,
∴,
∴.
∴,
∴.
(ⅰ)當時, ,所以在上單調遞增;
(ⅱ)當時,令, ,
當時, ,
時, ,
(ⅲ)當時, ,故當時, , 在上單調遞增.
綜上:當時, 在上單調遞增;
當時, 在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)由(1)可得,
∴,
設 ,
則,
設,
則,
∵ 當時, ,
∴,
∴在區(qū)間上單調遞減,
故當時, ,
∴,
∴在上單調遞減,
∴,
∴ ,
∴ 在區(qū)間上單調遞減,
∴.
由題意得 , ,
令,則,
∴,可求得.
∵對任意的,存在,使得成立.
∴,
整理得,
解得或,
又,所以.
∴ 實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】無窮數(shù)列滿足: 為正整數(shù),且對任意正整數(shù), 為前項, , , 中等于的項的個數(shù).
(Ⅰ)若,請寫出數(shù)列的前7項;
(Ⅱ)求證:對于任意正整數(shù),必存在,使得;
(Ⅲ)求證:“”是“存在,當時,恒有 成立”的充要條件。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設.
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍.
(2)設函數(shù),且,求證: 當時,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, 、分別為、的中點, , .
(1)求證:平面平面;
(2)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點,,且.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設上述的取值范圍為,若存在,使對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖,在平面直角坐標系中,直線與直線之間的陰影部分即為,區(qū)域中動點到的距離之積為1.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)動直線穿過區(qū)域,分別交直線于兩點,若直線與軌跡有且只有一個公共點,求證: 的面積恒為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正項等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項a1=3,前n項和為Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{nan}的前n項和為Tn,若對任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若,當時,求的單調遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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