Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ae^x，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）在定義域R上的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)a經(jīng)行分類(lèi)，當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系即可求出

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x-e^x，
∴f′（x）=1-e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，
當(dāng)f′（x）＞0，得到x＜0，
當(dāng)f′（x）＜0，得到x＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）∵f′（x）=1+ae^x，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，
②當(dāng)a＜0時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=ln（-

1

a

），
當(dāng)f′（x）＞0，得到x＜ln（-

1

a

），f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，得到x＞ln（-

1

a

），f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=ln（-

1

a

）時(shí)，函數(shù)有極大值，且為ln（-

1

a

）-1，無(wú)極小值
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，無(wú)極值，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x=ln（-

1

a

）時(shí)，函數(shù)有極大值，且為ln（-

1

a

）-1，無(wú)極小值

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的分類(lèi)討論的能力，屬于中檔題