Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如圖甲)．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P(如圖乙)

(Ⅰ)求證：A₁E⊥平面BEP；

(Ⅱ)求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大��；

(Ⅲ)求二面角B－A₁P－F的大小(用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

答案：
解析：

解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3 　　在下圖中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF．AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2∴AF＝AD＝2而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形，又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1－EF－B的平面角．由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP． 　　在下圖中，A1E不垂直A1B，∴A1E是平面A1BP的垂線，又A1E⊥平面BEP， 　　∴A1E⊥BE．從而B(niǎo)P垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于點(diǎn)Q，則∠E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．在△EBP中，BE＝EP＝2而∠EBP＝60°，∴△EBP是等邊三角形．又A1E⊥平面BEP，∴A1B＝A1P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且，又A1E＝1，在Rt△A1EQ中，，∴∠EA1Q＝60°， 　　∴直線A1E與平面A1BP所成的角為60° 　　(3)在下圖中，過(guò)F作FM⊥A1P與M，連結(jié)QM，QF，∵CP＝CF＝1， 　　∠C＝60°，∴△FCP是正三角形，∴PF＝1．有 　　∴PF＝PQ�、伲� 　　∵A1E⊥平面BEP， 　　∴A1E＝A1Q， 　　∴△A1FP≌△A1QP從而∠A1PF＝∠A1PQ　②， 　　由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP， 　　∴∠QMP＝∠FMP＝90°，且MF＝MQ， 　　從而∠FMQ為二面角B－A1P－F的平面角． 　　在Rt△A1QP中，A1Q＝A1F＝2，PQ＝1，又∴． 　　∵M(jìn)Q⊥A1P 　　∴ 　　∴在△FCQ中，F(xiàn)C＝1，QC＝2，∠C＝60°，由余弦定理得 　　在△FMQ中， 　　∴二面角B－A1P－F的大小為