Question

（本小題滿分13分）

已知菱形ABCD中，AB=4， （如圖1所示），將菱形ABCD沿對角線翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置（如圖2所示），點(diǎn)E，F，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點(diǎn)．

  

（1）證明：BD //平面；

（2）證明：

（3）當(dāng)時(shí)，求線段AC₁ 的長．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】本事主要是考查了空間幾何體中線面的平行的證明以及線線垂直的證明，以及利用線段的垂直關(guān)系求解線段的長度。

（1）先證明線線垂直，然后利用線面平行的判定定理得到，BD //平面；

（2）運(yùn)用在菱形中，設(shè)為的交點(diǎn),則來證明：

（3）當(dāng)時(shí)，可證明平面．，然后借助于溝谷定理得到線段AC₁ 的長．

證明：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

             所以．                 ………………………………………2分

             又平面，平面,

       所以平面．           ………………………………………4分

        （Ⅱ）在菱形中，設(shè)為的交點(diǎn),

　　　　　　 則．                   ………………………………………5分

　　所以 在三棱錐中，.

　　　　　　又 　

所以 平面．……………………7分

　　　　　　又 平面，所以 ．………………8分

 

　　　（Ⅲ）連結(jié)．在菱形中，，

　　　　　　所以 是等邊三角形.     所以 ．          ……10分

　　　　　　因?yàn)?為中點(diǎn)，所以 ．

            又 ，．

            所以 平面，即平面．

………………………………………12分

            又 平面，所以 ．

因?yàn)?，， 所以 ．…13分