Question

數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（1）證明：{a_n+3}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=

(2n-1)．an

3

，求數列{b_n}的前n項和H_n．

Answer 1

分析：（1）利用當n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，可得得a_n=2a_n-1+3，從而可構造等比數列求解a_n+3，進而可求a_n，
（2）由（1）可得，b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1），然后利用錯位相減法求解數列的和

解答：證明：（1）當n≥2時由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
兩式相減得S_n-S_n-1=a_n=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，
整理得a_n=2a_n-1+3     …（2分）
∴

an+3

an-1+3

=

2an-1+3+3

an-1+3

=2                          …（4分）
由S₁=2a₁-3得a₁=3，
∴a₁+3=6
∴{a_n+3}是以6為首項、2為公比的等比數列           …（5分）
∴a_n+3=6.2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3                       …（6分）
（2）解：∵b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）
設T_n=1.2¹+3.2²+5.2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ                 ①
2T_n=1.2²+3.2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹     ②
由①-②得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（7分）
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）.2ⁿ⁺¹       …（9分）
化簡得 T_n=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6．                       …（11分）
∴H_n=T_n-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6-n²        …（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列在求解數列的通項中的應用，及數列的錯位相減法求和的應用