Question

（2009•大連一模）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），

a

=（x-2，

2

y），

b

=（x+2，

2

y）且

a

•

b

=0
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且

CA

=

BD

①求k的值；
②若點(diǎn)N（

2

，1），求△NCD面積取得最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）．根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（II）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B，A的坐標(biāo)，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關(guān)系，利用

CA

=

BD

即可求得k的值．②根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到△NCD的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）．
∵

a

•

b

=0，∴(x-2)(x+2)+(

2

y)2=0，
化為

x2

4

+

y2

2

=1，即為點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B（0，m），A(-

m

k

，0)．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=4

得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

．
∵

CA

=

BD

，∴-

m

k

-x1=x2，∴-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，
又m≠0，化為4k²=1+2k²，k2=

1

2

，
∵k＞0，∴k=

2

2

．
②|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

．
點(diǎn)N到CD的距離d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|．
∴S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2

2

)=

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²時(shí)等號(hào)成立，即m²=2，解得m=±

2

．，此時(shí)△＞0，
所以直線的方程為l：y=

2

2

x±

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量相等表示坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到△的面積，利用基本不等式的性質(zhì)求最值等知識(shí)與方法．需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及模式識(shí)別能力．