Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，點(diǎn)M（2，3），N（2，-3）為C上兩點(diǎn)，斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B（A，B在直線MN兩側(cè)）．
（I）求四邊形MANB面積的最大值；
（II）設(shè)直線AM，BM的斜率為k₁，k₂，試判斷k₁+k₂是否為定值．若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)根據(jù)離心率橢圓的方程，把M點(diǎn)代入即可求得c，則橢圓的方程可得．設(shè)直線l的方程，A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂進(jìn)而代入四邊形形面積表達(dá)式中，根據(jù)m確定四邊形的面積最大值．
（2）設(shè)直線MA、MB的方程，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立分別求出A，B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，表示出直線AB的斜率，根據(jù)斜率為

1

2

整理可得k₁+k₂=0．

解答：解：（I）e=

1

2

，設(shè)橢圓

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，代入M（2，3），得c=2，
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
設(shè)直線l的方程為y=

1

2

x+m（m∈R），A（x₁，y₁），B（x₂，x₂）
游

x2 16 + y2 12 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-12=0
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12
又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

×6×

48-3m2

顯然當(dāng)m=0時(shí)，S_MANB=12

3

．

（II）設(shè)直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
將（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0
則2x1=

64k12-192k1-48

16k12+12

∴x1=

8k12-24k1-6

4k12+3

∴A(

8k12-24k1-6

4k12+3

，

-12k12-12k1+9

4k12+3

)，同理：B(

8k22-24k2-6

4k22+3

，

-12k22-12k2+9

4k22+3

)kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-12k12-12k1+9 4k12+3 - -12k22-12k2+9 4k22+3

8k12-24k1-6 4k12+3 - 8k22-24k2-6 4k22+3

=

1

2

化簡(jiǎn)得：k₁²=k₂²∵k₁≠k₂∴k₁=-k₂
即k₁+k₂=0為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用．