Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，點N為AB的中點．，
（Ⅰ）證明：AB⊥PC；
（Ⅱ）設(shè)點M在線段PD上，且PB∥平面MNC，若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M-NC-P的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，推導(dǎo)出AB⊥NC，AB⊥PN，從而AB⊥平面PNC，由此能證明AB⊥PC．
（Ⅱ）連結(jié)BD交NC于F，連結(jié)MF，推導(dǎo)出PB∥MF，從而PN⊥AB，進而PN⊥平面ABCD，以N為原點，分別以NB、NC、NP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-NC-P的大小．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，
∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，又點N為AB的中點，
∴AB⊥NC，
又∵PA=PB，N為AB的中點，∴AB⊥PN，
又NC∩PN=N，∴AB⊥平面PNC，
又PC?平面PNC，∴AB⊥PC．
解：（Ⅱ）連結(jié)BD交NC于F，連結(jié)MF，
∵PB∥平面MNC，PB?平面PBD，平面PBD∩平面MNC=MF，
∴PB∥MF，
由（Ⅰ）知PN⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，交線是AB，
∴PN⊥平面ABCD，
以N為原點，分別以NB、NC、NP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），N（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{NC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面MNC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴PB∥MF，∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
由（Ⅰ）知AB⊥平面PNC，則取PNC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=30°，
∴二面角M-NC-P的大小為30°．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．