如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點(diǎn),求證:
AN
NE
分析:(1)先由已知得b=
3
以及c=1,即可求出橢圓C的方程;
(2)(理科生做)先讓m取0,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),再猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于此定點(diǎn)N.先利用斜率相等證明A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線,即可證明結(jié)論.
(文科生做)直接求直線AN和直線NE的斜率,利用上面的過程得到二者斜率相等即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)易知b=
3
⇒b2=3,
又F(1,0),c=1,∴a2=b2+c2=4.
所以橢圓C的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1.
(2)(理科生做)因?yàn)镕(1,0),k=(a2,0)
先探索,當(dāng)m=0時(shí),直線L⊥ox軸,則ABED為矩形,由對(duì)稱性知,AE與BD相交于FK中點(diǎn)N,且N(
a2+1
2
,0)

猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(
a2+1
2
,0)

證明:設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1),
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N.
x=my+1
b2x2+a2y2-a2b2=0    
⇒(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0.△4a2b2(a2+m2b2-1)>0,(因?yàn)閍>1)
且.y1+y2=-
2mb2
a2+b2m2 
   ①,y1•y2=
b2(1-a2)
a2+b2m2
    ②.
因?yàn)镵AN=
-y1
a2-1
2
-my1
,KEN=
-y2
1-a2
2

所以kAN-KEN=
1-a2
2
(y1+y2) -my1y2 
1-a2
2
(
1-a2
2
-my1
    ③,
把①②代入③整理得KAN-KEN=0.
∴KAN=KEN∴A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)N(
a2+1
2
,0)

(文科生做).直接求出直線AN和直線NE的斜率,利用上面的推導(dǎo)過程可以得到二者斜率相等,故A、N、E三點(diǎn)共線.即可得:
AN
NE
點(diǎn)評(píng):題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時(shí),探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時(shí),直線AE與BD相交于定點(diǎn)N(
5
2
,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點(diǎn)P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn),記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點(diǎn),求a的值,并確定拋物線的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•樂山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M,
MA
1
AF
MB
2
BF
,當(dāng)M變化時(shí),求λ12的值.

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