Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
（1）對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；（2）f（1）=1
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
（Ⅰ）試求f（0）的值；
（Ⅱ）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅲ）試證明：滿足上述條件的函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，都有f（x）≤2x．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
∴f（1+0）≥f（1）+f（0），
∴f（0）≤0，
∵f（0）≥0，
故f（0）=0．
（Ⅱ）因為0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
∴f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，
于是當0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1
因此，當x=1時，f（x）有最大值為1；
（Ⅲ）證明：研究①當x∈時，f（x）≤1＜2x．
②當x∈時，
首先，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴，
顯然，當x∈時，
f（x）≤成立．
假設當時，有f（k）成立，其中k=1，2，…
那么當時，
f（x）≤=，
可知對于，總有，其中n=1，2，…
而對于任意，存在正整數(shù)n，使得，
此時．…11分
③當x=0時，f（0）=0≤2x…12分
綜上可知，滿足條件的函數(shù)f（x），對x∈[0，1]，總有f（x）≤2x成立．
分析：（Ⅰ）直接取x₁=1，x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再結合已知條件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（Ⅱ）由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（1）；
（Ⅲ）①當x∈時，f（x）≤1＜2x；②當x∈時，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），，當x∈時，f（x）≤成立．假設當時，有f（k）成立，其中k=1，2，…那么當時，f（x）≤=，故對于任意，存在正整數(shù)n，使得，此時；當x=0時，f（0）=0≤2x．所以，滿足條件的函數(shù)f（x），對x∈[0，1]，總有f（x）≤2x成立．
點評：本題主要是在新定義下對抽象函數(shù)進行考查，在做關于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎上再做題．解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法的合理運用．