【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí)，直線的傾斜角為

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；

（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時(shí)候，成立，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，弦長公式，得到與的關(guān)系，將表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證明最后的結(jié)果

解：（1）由已知，得

由，兩式相減，得

根據(jù)已知條件有，

當(dāng)時(shí)，

∴，即

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不等式成立.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)

由得

∴，

∴

由

化簡，得

∴

令，則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號

∴

∵

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號

綜上，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，g（x）＝x2﹣1．

（1）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．

（2）若h（x）＝f（x）+g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：x1f（x1）＞x2f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和， ，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn).若橢圓短軸的上頂點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問題. 該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取件產(chǎn)品作為樣本，測出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

表1 甲流水線樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

（1）若將頻率視為概率，某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了萬件產(chǎn)品，則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件？

（2）在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機(jī)抽取兩件，求兩件不合格品的質(zhì)量指標(biāo)值均偏大的概率；

（3）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下能否認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”？

甲生產(chǎn)線

乙生產(chǎn)線

合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

附：（其中為樣本容量）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）解不等式： ；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù)，客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到如表：

學(xué)時(shí)數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購買的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購買該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學(xué)時(shí)以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)？

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，，，，，異面直線PA和CD所成角等于60°.

（1）求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大�。�

（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年7月,中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間Ｔ(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>______;經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至,據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):,,)

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