Question

已知圓C的圓心在拋物線x²=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
（1）求弦長MN；
（2）設AM=l₁，AN=l₂，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設圓心坐標C（x，y），根據條件得到圓C的方程，再求出交點M和N的橫坐標，再根據弦長公式MN=|x₂-x₁|求得MN．
（2）首先設∠MAN=θ，接著根據三角形MAN面積得l₁與l₂關系式①，再根據余弦定理求得l₁²+l₂^{2_{的表達式即}}l₁與l₂關系式^{②，
聯立①②求得的表達式，根據θ的范圍代入求解}．
解答：解：（1）依題意設C（x，y），M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
        則圓C的方程為：（x-x）²+（y-y）²=x²+（y-p）²．
         令y=0，并由x²=2py，得x²-2xx+x²-p²=0，
         解得x₁=x-p，x₂=x+p，
         所以弦長MN為|x₂-x₁|=x+p-（x-p）=2p．
  
 （2）設∠MAN=θ，因為，
    所以，因為l₁²+l₂²-2l₁ l₂cosθ=4p²，
    所以l₁²+l₂²=．
     所以．
    因為0＜θ≤90，所以當且僅當θ=45°時，原式有最大值，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，
    從而的取值范圍為．
點評：這是一道圓錐曲線與三角函數的知識點交匯綜合題型，此題考查學生的運算能力，
知識點方面還考查直線與圓的位置關系，及弦長公式的運用，同時利用三角函數求最值方法．