Question

在平面區(qū)域

x-2y+10≥0 x+2y-6≥0 2x-y-7≤0

內(nèi)有一個(gè)圓，向該區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，將點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率最大時(shí)的圓記為圓M．
（1）試求出圓M的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，3）作圓M的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為A、B，又過(guò)P作圓N：x²+y²-4x+λy+4=0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為C、D，試確定λ的值，使AB⊥CD．

Answer 1

分析：（1）先畫(huà)出該平面區(qū)域，明確區(qū)域所圍成的平面圖形的形狀，再由“落在圓內(nèi)的概率最大時(shí)的圓”則為該平面圖形的內(nèi)切圓．再由圓的相關(guān)條件求圓的方程．
（2）根據(jù)PM⊥AB，PN⊥CD，則要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由

PM

•

PN

=0，建立關(guān)于λ的方程來(lái)求解．

解答：解：（1）畫(huà)出該區(qū)域得三角形ABC，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，4），B（4，1），C（8，9），（2分）
且為直角三角形，三邊長(zhǎng)分別為3

5

，4

5

，5

5

（4分）
由于概率最大，故圓M是ABC內(nèi)切圓，R=

5

，（5分）
設(shè)M（a，b），則

|a-2b+10|

5

=

|a+2b-6|

5

=

|2a-b-7|

5

=

5

（7分）
解得a=3，b=4（9分）
所以圓M的方程為（x-3）²+（y-4）²=5（10分）
（2）要使AB⊥CD，則PM⊥PN，

PM

•

PN

=0，（13分）
N(2，-

λ

2

)，P（0，3）
求得λ=6（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面區(qū)域的畫(huà)法，三角形的內(nèi)切圓的求法以及圓的切線(xiàn)的應(yīng)用．還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．