Question

某工廠今年擬舉行產(chǎn)品促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該廠產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x（萬件）與年促消費(fèi)m（萬元）（m≥0）滿足關(guān)系，已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．（I）將今年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（萬元）表示為年促銷費(fèi)m（萬元）的函數(shù)；（II）求今年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值，此時(shí)年促銷費(fèi)為多少萬元？

Answer 1

解：（I）每件產(chǎn)品的成本為元，且x=，則
今年的利潤(rùn)y=1.5וx-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8-m=28--m（其中m≥0），
所以，所求的函數(shù)為y=28-m-m≥0；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)y=28-m-=29-[+m+1]≤29-2=21，
當(dāng)且僅當(dāng)=m+1（其中m≥0），即m=3（萬元）時(shí)，等號(hào)成立；
所以，今年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值為21萬元，此時(shí)年促銷費(fèi)為3萬元．
分析：（I）每件產(chǎn)品的成本為元，且x=，則利潤(rùn)函數(shù)y=1.5וx-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函數(shù)y=28-m-，構(gòu)造條件應(yīng)用基本不等式，可求得函數(shù)y的最大值及對(duì)應(yīng)的m值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數(shù)的最值問題，是中檔題．