已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f(2)=2，un=
f(2n)2n
(n∈N*)，求證數(shù)列{un}是等差數(shù)列，并求{un}的通項(xiàng)公式．
分析：（1）賦值法，令a=b=0和令a=b=1，可分別求出f（0）、f（1）
（2）構(gòu)造f（-x）和f（x）之間的關(guān)系式，看符合奇函數(shù)還是偶函數(shù)，先賦值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可
（3）利用定義法證明{un}是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式
解答：解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），則f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）2]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，則f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函數(shù)．
（3）因?yàn)?span id="crph7rc" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">un+1=
f(2n+1)
2n+1
=
f(2•2n)
2n+1
=
2f(2n)+2nf(2)
2n+1
=
f(2n)
2n
+
f(2)
2
=un+1，即un+1-un=1，所以{un}是等差數(shù)列．又首項(xiàng)u1=
f(2)
2
=1，公差為1，
所以an=n，Sn=
n(n+1)
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查賦值法的巧妙使用、奇函數(shù)和偶函數(shù)的判定以及等差數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的求法，難度不是很大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f（1-a）+f（2a-3）小于0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）證明函數(shù)a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對(duì)所有f'（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1．若g（x）=f（x）+1-x，則g（2009）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，且f（1）=0，函數(shù)g（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，且g（4）=g（0）=0，則集合{x|f（x）g（x）≥0}=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f(log
12
3)，c=f（0.2-0.6），則a，b，c的大小關(guān)系
a＞b＞c
a＞b＞c
．

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