Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸是短軸的兩倍，點A(

3

，

1

2

)在橢圓上．不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△ABO的面積為S．
（1）求橢圓C的方程．
（2）試判斷|OA|²+|OB|²是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？
（3）求S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸是短軸的兩倍，點A(

3

，

1

2

)在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據(jù)k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求出k，進而表示出|OA|²+|OB|²，即可得出結(jié)論；
（3）表示出△ABO的面積，利用基本不等式，即可求S的最大值．

解答： 解：（1）由題意可知a=2b且

3

a2

+

1

4b2

=1，
∴a=2，b=1，…2分
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列．
∴k²=k₁k₂=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

∴-4k²m²+m²=0，
∴k=±

1

2

，
此時△=16（2-m²）＞0，即m∈（-

2

，

2

）
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12+x22+y22=

3

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值為5．…
（3）S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|m|

1+k2

=

1

2

4m2-(8m2-8)

|m|
=

(2-m2)m2

≤

( 2-m2+m2 2 )2

=1，
當且僅當m=±1時，S的最大值為1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．