Question

某公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元至1000萬元的投資收益．為加快開發(fā)進(jìn)程，特制定了產(chǎn)品研制的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（萬元）隨投資收益x（萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%．
現(xiàn)給出兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：①y=

x

100

+2；②y=4lgx-3．
試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

Answer 1

分析：由題意得到公司要選擇的函數(shù)模型所要滿足的條件，然后對(duì)兩個(gè)函數(shù)模型逐一分析，對(duì)三個(gè)條件全部滿足的選取，三個(gè)條件有一個(gè)不滿足則舍棄．

解答：解：設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：
（1）f（x）在區(qū)間[10，1000]上是增函數(shù)；
（2）?x∈[10，1000]，f（x）≤9恒成立；
（3））?x∈[10，1000]，f（x）≤

x

5

恒成立．
對(duì)于模型①，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f(x)=

x

100

+2是增函數(shù)，
f(x)max=f(1000)=

1000

100

+2=12＞9．
故該模型不符合公司要求．
對(duì)于，模型②，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）=4lgx-3是增函數(shù)，且
f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9≤9，以下檢驗(yàn)是否符合第（3）個(gè)要求．
設(shè)g(x)=4lgx-3-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

4lge

10

-

1

5

=

lge2-1

5

＜0，
∴g（x）在∈[10，1000]上為減函數(shù)，
從而g（x）≤g（10）=-1＜0，即f(x)＜

x

5

恒成立．
∴函數(shù)模型②符合公司要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法，是中檔題．