Question

在平面直角坐標(biāo)系中，圓Q交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，D，直徑EF∥y軸，
（1）若點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（-4，0）、（2，0）直徑為10，求圓心Q，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為直徑EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與E，F(xiàn)重合）過(guò)點(diǎn)P作弦MN，若∠EPM=45°，求

PM2+PN2

EF2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）∵點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（-4，0）、（2，0），可設(shè)圓心Q（-1，b）．由于直徑=10，可得

32+b2

=5，解得b=±4．可得圓的方程為（x+1）²+（y±4）²=25．
令x=0，即可解出．
（2），過(guò)圓心Q作QG⊥MN，利用垂經(jīng)定理與勾股定理可得GP=GQ，GM²+GQ²=MQ2=

1

4

EF2．即可得出

PM2+PN2

EF2

=

( 1 2 MN+GP)2+( 1 2 MN-GP)2

EF2

．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（-4，0）、（2，0），
可設(shè)圓心Q（-1，b），
∵直徑=10，
∴

32+b2

=5，解得b=±4．
∴圓的方程為（x+1）²+（y±4）²=25．
令x=0，解得C（0，4+2

6

），D(0，4-2

6

)；C(0，-4+2

6

)，D(0，-4-2

6

)．
（2）如圖所示，過(guò)圓心Q作QG⊥MN，
則QG平分MN，
∵∠GPQ=45°，
∴GP=GQ．
又GM²+GQ²=MQ2=

1

4

EF2．
∴

PM2+PN2

EF2

=

( 1 2 MN+GP)2+( 1 2 MN-GP)2

EF2

=

2[( 1 2 MN)2+GP2]

EF2

=

2× 1 4 EF2

EF2

=

1

2

．
∴

PM2+PN2

EF2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、垂經(jīng)定理、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．